伴随矩阵法

 $A^{-1}=\frac1{|A|}A^*$

矩阵 A 存在逆矩阵的充分必要条件是 $|A|\ne0$

有限次初等变换

初等矩阵

参考：https://blog.iyatt.com/?p=21647#%E5%88%9D%E7%AD%89%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5

有限次初等变换

A 是一个 n 阶矩阵，可以在右侧（或下方）拼接一个同型单位矩阵，得到一个增广矩阵，对增广矩阵进行有限次初等行变换（或列变换），当原 A 矩阵所在的行列组成的矩阵变换成单位矩阵时，原单位矩阵所在的行列组成的矩阵就是 A 的逆矩阵

比如求 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$ 的逆矩阵：
①行变换

 $\begin{array}{l} \begin{aligned} \begin{pmatrix} A|E \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0\\ 2&5&|& 0&1\\ \end{pmatrix}\\ &\rightarrow \begin{pmatrix} 1&2&|&1&0\\ 0&1&|&-2&1 \end{pmatrix}\\ &\rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&|&5&-2\\ 0&1&|&-2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E|A^{-1} \end{pmatrix} \end{aligned}\\ 即A^{-1}= \begin{pmatrix} 5&-2\\ -2&1 \end{pmatrix} \end{array}$

②列变换

 $\begin{array}{l} \begin{aligned} \begin{pmatrix} A\\ -\\ E \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2&5\\ -&-\\ 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\\ &\rightarrow \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1\\ -&-\\ 1&-2\\ 0&1 \end{pmatrix}\\ &\rightarrow \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ -&-\\ 5&-2\\ -2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E\\ -\\ A^{-1} \end{pmatrix} \end{aligned}\\ 即A^{-1}= \begin{pmatrix} 5&-2\\ -2&1 \end{pmatrix} \end{array}$

逆矩阵的求法