最近更新于 2025-09-01 23:38

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵

第一种：对调行或列

E_{i,j} 表示将单位矩阵 E 的第 i 行和第 j 行对调（或者也可以说是把第 i 列和第 j 列对调）所得到的矩阵。如E_{1,3}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}

第二种：某行或列乘以非零常数

E_i(c) 表示将单位矩阵 E 的第 i 行（或第 i 列）乘以非零常数 c 所得到的矩阵。如E_2(3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}

第三种：某行或列的倍数加到另一行或列

E_{ij}(k) 表示将单位矩阵 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行（或将单位矩阵 E 的第 j 列的 k 倍加到第 i 列）所得到的矩阵。如E_{21}(4)=\begin{pmatrix}1&0&0\\4&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

初等矩阵与其它矩阵的积

简记：左行右列

（1）若 B 是一个初等矩阵，BA 本质是对矩阵 A 的行进行和 B 一样的初等行变换。如 A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}，E_{1,3}A=\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}
（2）若 B 是一个初等矩阵，AB 本质是对矩阵 A 的列进行和 B 一样的初等列变换。如A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}，AE_2(3)=\begin{pmatrix}1&6&3\\4&15&6\\7&24&9\end{pmatrix}

初等矩阵的逆矩阵

第一种

\begin{array}{l}
|E_{i,j}|=-1\ne0，E_{i,j}可逆\\
(E_{i,j})^{-1}=E_{i,j}\\
(E_{i,j})^2=E
\end{array}

第二种

\begin{array}{l}
|E_i(c)|=c\ne0，E_i(c)可逆\\
[E_i(c)]^{-1}=E_i(\frac1c)
\end{array}

第三种

\begin{array}{l}
|E_{ij}(k)=1\ne0，E_{ij}(k)可逆\\
[E_{ij}]^{-1}=E_{ij}(-k)
\end{array}