Wallis 公式

因为张宇老师取名的原因，网上也传叫“点火公式”，像倒点火计时一样。

参考

《高等数学》同济大学第七版上册:

第 253 页例 12
第 249 页例 6

公式

 $\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nxdx= \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}，n为正偶数 \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}，n为正奇数 \end{cases}$

证明

 $\begin{array}{l} \begin{aligned} I_n&=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx \\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}xd(-\cos x) \\ &\xlongequal{分部积分}(-\sin^{n-1}x\cos x)|_0^\frac{\pi}{2}+(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2 x\cdot\sin^{n-2}xdx \\ &=(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}(1-\sin^2x)dx \\ &=(n-1)(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}xdx-\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx) \\ &=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n \\ \end{aligned} \\ \Downarrow \\ I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} \\ \\ I_{n-2}=\frac{n-3}{n-2}I_{n-4} \end{array}$

继续递推可以得到：

 $\begin{array}{l} I_{2m}=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0 \\ \\ I_{2m+1}=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot I_1 \\ \\ 其中 \\ \\ I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2} \\ \\ I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=1 \end{array}$

则有

 $\begin{array}{l} I_{2m}=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} \\ \\ I_{2m+1}=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} \end{array}$

另外

 $\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx\xlongequal{x=\frac{\pi}{2}-t}-\int_\frac{\pi}{2}^0\sin^n(\frac{\pi}{2}-t)dt=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n(\frac{\pi}{2}-t)dt\xlongequal{诱导公式6}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^ntdt$

Wallis 公式（“点火公式”） – 定积分计算