最近更新于 2023-10-06 01:14

Wallis 公式

因为张宇老师取名的原因,网上也传叫“点火公式”,像倒计时一样。

公式

\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nxdx=
\begin{cases}
\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2},n为正偶数 \\
\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3},n为正奇数
\end{cases}

证明

\begin{array}{l}
\begin{aligned}
I_n&=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx \\
&=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}xd(-\cos x) \\
&\xlongequal{分部积分}(-\sin^{n-1}x\cos x)|_0^\frac{\pi}{2}+(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2 x\cdot\sin^{n-2}xdx \\
&=(n-1)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}(1-\sin^2x)dx \\
&=(n-1)(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}xdx-\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx) \\
&=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n \\
\end{aligned}
\\
\Downarrow \\
I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}
\end{array}

递推可以得到:

\begin{array}{l}
I_m=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0 \\
\\
I_{2m+1}=\frac{2m-1}{2m}\cdot\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot I_1
\end{array}

另外有

\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx\xlongequal{x=\frac{\pi}{2}-t}-\int_\frac{\pi}{2}^0\sin^n(\frac{\pi}{2}-t)dt=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n(\frac{\pi}{2}-t)dt\xlongequal{诱导公式6}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^ntdt

作者 IYATT-yx