最近更新于 2025-09-01 23:41

前置条件

有两个列向量：\alpha=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix}，\beta=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}

（1）\alpha^T\beta=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n，结果为一个常数
（2）设A=\alpha\beta^T=\begin{pmatrix}a_1b_1&a_1b_2&\cdots&a_1b_n\\a_2b_1&a_2b_2&\cdots&a_2b^n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_nb_1&a_nb_2&\vdots&a_nb_n \end{pmatrix}，可以发现任意两行是成比例的，即秩r(A)=1，秩就是线性无关数（反过来，一个矩阵秩为 1，是可以拆分为列向量和行向量的积）。迹tr(A)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha，迹就是它的主对角线元素之和。

推论

对于一个矩阵 A，它的秩为 1 的话，则有：A^n=(\alpha\beta^T)^n=\underbrace{ \alpha\beta^T\alpha\beta^T\cdots\alpha\beta^T}_{n个\alpha\beta^T积}=\alpha\underbrace{(\beta^T\alpha\cdots\beta^T\alpha)}_{n-1个\beta^T\alpha积}\beta^T=\alpha\cdot tr(A)^{n-1}\cdot\beta^T=tr(A)^{n-1}\alpha\beta^T=tr(A)^{n-1}\cdot A