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最近更新于 2025-08-31 22:10

基础概念

矩阵

形如 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ 称为 $m\times n$ 阶矩阵，记为 $A=(a_{ij})_{m\times n}$

同型矩阵

两个矩阵的行数和列数分别相等，则这两个矩阵为同型矩阵

矩阵相等

若A、B两个矩阵的元素一一相等，则称两个矩阵相等，记为 A=B

伴随矩阵

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$ 为 n 阶矩阵，取 $|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ 。记 A 中的 $a_{ij}$ 的余子式为 $M_{ij}$ ，代数余子式为 $M_{ij}$ ，则矩阵 A 的伴随矩阵为 $A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$

零矩阵

设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，若 $\forall a_{ij}=0$ ，称 A 为零矩阵，记为 A=O

n 阶方阵

设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，若 m=n，称 A 为 n 阶方阵

单位矩阵

称 $E=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$ 为单位矩阵，即主对角线元素全为 1，其余元素全为 0

数量矩阵

称 $A=aE=a\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0&\cdots&0\\0&a&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a\end{pmatrix}$ 为数量矩阵

转置矩阵

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ ， $A^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ ， $A^T$ 为 A 的转置矩阵，即行列互换

非奇异矩阵

对于 n 阶方阵 A，若它的行列式值 $|A|\ne0$ ，则称 A 为非奇异矩阵

正交矩阵

若 $A^TA=E$ ，称 A 为正交矩阵

对角矩阵

称 $A=\begin{pmatrix}l_1&&&\\&l_2&&\\&&\ddots&\\&&&l_n \end{pmatrix}$ 为对角矩阵，即除了主对角线，其它元素全为 0

矩阵的运算

加减法

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{pmatrix}$ ，则 $A\pm B=\begin{pmatrix}a_{11}\pm b{11}&a_{12}\pm b{12}&\cdots&a_{1n}\pm b{1n}\\a_{21}\pm b{21}&a_{22}\pm b{22}&\cdots&a_{2n}\pm b{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}\pm b{m1}&a_{m2}\pm b{m2}&\cdots&a_{mn}\pm b{mn}\end{pmatrix}$

乘法

数与矩阵的乘法

设 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ ，则 $kA=\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{pmatrix}$

矩阵与矩阵的乘法

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1s}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2s}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{ns}\end{pmatrix}$ ，则 $AB=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\c_{m1}&c_{m2}&\cdots&c_{mn}\end{pmatrix}$
其中 $C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2J}+\cdots+a_{in}b_{nj}，（i=1、2、\cdots、m，j=1、2、\cdots、s）$

性质

参考：https://blog.iyatt.com/?p=8284

矩阵基础