矩阵常用性质

最近更新于 2024-05-05 14:18

n 阶方阵行列式性质

\begin{array}{l}
|A^T|=|A| \\
|kA|^n=k^n|A| \\
|AB|=|A||B| \\
|A^{-1}|=\frac{1}{|A|} \\
|A^*|=|A|A^{-1}=|A|^{n-1}

\end{array}

矩阵运算性质

\begin{array}{l}
A+B=B+A \\
(A+B)+C=A+(B+C) \\
(AB)C=A(BC) \\
(k+l)A=kA+lA \\
k(A+B)=kA+kB \\
A(B+C)=AB+AC \\ \\

设 A 是\ m\times n\ 矩阵，B、C\ 分别是\ n\times s、n\times l\ 矩阵，则 \\
A(B\vdots C)=(AB\vdots AC)
\end{array}

矩阵转置性质

\begin{array}{l}
(A^T)^T=A \\
(kA)^T=kA^T \\
(A\pm B)^T=A^T\pm B^T \\
(AB)^T=B^TA^T \\
(A^{-1})^T=(A^T)^{-1} \\
(A^m)^T=(A^T)^m
\end{array}

伴随矩阵性质

\begin{array}{l}
(A^T)^*=(A^*)^T \\
(kA)^*=k^{n-1}A^* \\
(AB)^*=B^*A^*
\end{array}

逆矩阵性质

\begin{array}{l}
(A^{-1})^{-1}=A \\
(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} \\
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \\
(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T \\
(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n \\ \\

设\ A、B\ 分别为\ m\ 和\ n\ 阶矩阵，则 \\
\left (
\begin{matrix}
A &O \\
O &B
\end{matrix}
\right )
^{-1}=
\left (
\begin{matrix}
A^{-1} &O \\
O &B^{-1}
\end{matrix}
\right ) \\

\left (
\begin{matrix}
O &A \\
B &O
\end{matrix}
\right )
^{-1}=
\left (
\begin{matrix}
O &A^{-1} \\
B^{-1} &O
\end{matrix}
\right )
\end{array}

矩阵秩的性质

\begin{array}{l}
r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T) \\ \\

设\ A，B\ 是同型矩阵，则\ r(A\pm B)\le r(A)+r(B) \\ \\

设\ A 为\ m\times n\ 矩阵，B\ 为\ n\times s\ 矩阵，则\ r(AB)\le min\{r(A),r(B)\} \\ \\

设\ A，B\ 分别为\ m\times n\ 及\ n\times s\ 矩阵，且 AB=O，则 r(A)+r(B)\le n \\ \\

设\ A\ 是\ m\times n\ 阶矩阵，P，Q\ 分别为\ m 及\ n\ 阶矩阵，则 \\
r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) \\ \\

设\ A\ 是\ n\ 阶矩阵，则\ r(A^*)= \\
\begin{cases}
n,\ r(A)=n \\
1,\ r(A)=n-1,\ (n\ge2) \\
0,\ r(A)\lt n-1
\end{cases} \\ \\

设\ A、B\ 分别为\ m\times s、n\times s\ 阶矩阵，则 \\
max\{r(A),r(B)\}\le r
\left (
\begin{matrix}
A \\
B
\end{matrix}
\right )
\le r(A)+r(B) \\
或设\ A、B\ 分别为\ m\times n、m\times s\ 矩阵，则 \\
max\{r(A),r(B)\}\le r(A\vdots B)\le r(A)+r(B)。\\
r
\left (
\begin{matrix}
A &O \\
O &B
\end{matrix}
\right )
=r(A)+r(B) \\ \\

设\ A\ 为\ n\ 阶非零矩阵，则\ r(A)=1\ 的充分必要条件是，\\
\exists\ 非零向量\ \alpha,\beta, 使得\ A=\alpha\beta^T

\end{array}