有限次初等变换求解矩阵方程

最近更新于 2025-10-02 20:19

①若有AX=B，可以将A和B组成增广矩阵(A|B)，进行有限次初等行变换，使系数矩阵A的位置变为单位矩阵E，得到(E|A^{-1}B)，此时常数矩阵B的位置就是A^{-1}B，即 X 的解。
②若有XA=B，可以将A和B组成增广矩阵\begin{pmatrix}A\\-\\B\end{pmatrix}，进行有限次初等列变换，使系数矩阵A的位置变为单位矩阵E，得到\begin{pmatrix}E\\---\\A^{-1}B\end{pmatrix}，此时常数矩阵B的位置就是BA^{-1}，即 X 的解。

例：\begin{pmatrix}1&4\\-1&2\end{pmatrix}X\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\0&-1\end{pmatrix}，求 X

\begin{array}{l}
令A=\begin{pmatrix}1&4\\-1&2\end{pmatrix}，
B=\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}，
C=\begin{pmatrix}3&1\\0&-1\end{pmatrix} \\
矩阵方程可以表示为AXB=C\\
①先求XB，XB=A^{-1}C \\
（A|C)=\begin{pmatrix}1&4&|&3&1\\-1&2&|&-1&1\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}1&0&|&1&1\\0&1&|&\frac12&0\end{pmatrix}=(E|A^{-1}C)\\
即A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&1\\\frac12&0\end{pmatrix}\\
②再求X，X=A^{-1}CB^{-1}\\
\begin{pmatrix}B\\---\\A^{-1}C\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\\-&-\\1&1\\\frac12&0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\-&-\\1&1\\\frac14&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}E\\---\\A^{-1}CB^{-1}\end{pmatrix}\\
即X=A^{-1}CB^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\\frac14&0\end{pmatrix}
\end{array}