最近更新于 2025-09-21 23:33

第（2）题

题目

\begin{vmatrix}
ax+by&ay+bz&az+bx\\
ay+bz&az+bx&ax+by\\
az+bx&ax+by&ay+bz
\end{vmatrix}
=
(a^3+b^3)
\begin{vmatrix}
x&y&z\\
y&z&x\\
z&x&y
\end{vmatrix}

证明

\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
ax+by&ay+bz&az+bx\\
ay+bz&az+bx&ax+by\\
az+bx&ax+by&ay+bz
\end{vmatrix}

&\xlongequal[然后分别提出第1列的公因式]{先拆第1列，变为两个行列式相加}
a\begin{vmatrix}
x&ay+bz&az+bx\\
y&az+bx&ax+by\\
z&ax+by&ay+bz
\end{vmatrix}
+
b\begin{vmatrix}
y&ay+bz&az+bx\\
z&az+bx&ax+by\\
x&ax+by&ay+bz
\end{vmatrix} \\

&\xlongequal[出现两列元素相等的行列式值为0]{前一个拆第3列，后一个拆第2列}
a^2\begin{vmatrix}
x&ay+bz&z\\
y&az+bx&x\\
z&ax+by&y
\end{vmatrix}
+
b^2\begin{vmatrix}
y&z&az+bx\\
z&x&ax+by\\
x&y&ay+bz
\end{vmatrix} \\

&\xlongequal[]{继续拆各自剩下的一列}
a^3\begin{vmatrix}
x&y&z\\
y&z&x\\
z&x&y
\end{vmatrix}
+
b^3\begin{vmatrix}
y&z&x\\
z&x&y\\
x&y&z
\end{vmatrix} \\
&\xlongequal[后一个行列式互换两次符号不变]{行列式互换列，符号相反}
a^3\begin{vmatrix}
x&y&z\\
y&z&x\\
z&x&y
\end{vmatrix}
+
b^3\begin{vmatrix}
x&y&z\\
y&z&x\\
z&x&y
\end{vmatrix} \\

&=
(a^3+b^3)\begin{vmatrix}
x&y&z\\
y&z&x\\
z&x&y
\end{vmatrix}
\end{aligned}

第（4）题

题目

\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
a&b&c&d\\
a^2&b^2&c^2&d^2\\
a^4&b^4&c^4&d^4
\end{vmatrix}
=
(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)

证明

\begin{array}{l}
设题目的行列式为A,
将A行列式扩充为5阶行列式 B=
\begin{vmatrix}
1&1&1&1&1\\
a&b&c&d&x\\
a^2&b^2&c^2&d^2&x^2\\
a^3&b^3&c^3&d^3&x^3\\
a^4&b^4&c^4&d^4&x^4
\end{vmatrix} \\

将B按第5列展开\\
\begin{aligned}
B&=(-1)^{1+5}\times1\times M_{15}+(-1)^{2+5}M_{25}x+(-1)^{3+5}M_{35}x^2+(-1)^{4+5}M_{45}x^3+(-1)^{5+5}M_{55}x^4\\
&=M_{15}-M_{25}x+M_{35}x^2-M_{45}x^3+M_{55}x^4
\end{aligned} \\

可以发现 A=M_{45}=
\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
a&b&c&d\\
a^2&b^2&c^2&d^2\\
a^4&b^4&c^4&d^4
\end{vmatrix}，而M_{45}是x^3项系数的相反数

\\ \\

B是一个范德蒙行列式，有\\
\begin{aligned}
B&=(b-a)(c-a)(d-a)(x-a)(c-b)(d-b)(x-b)(d-c)(x-c)(x-d)\\
&=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)[(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)]\\
&\xlongequal{含x项表示为一般式}(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(D_0x^0+D_1x+D_2x^2+D_3x^3+D_4x^4]) \\
&\xlongequal{和按列展开式相等}M_{15}-M_{25}x+M_{35}x^2-M_{45}x^3+M_{55}x^4
\end{aligned} \\

那么有
(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)\cdot D_3x^3=-M_{45}x^3 \\
即A=M_{45}=-(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)D_3\\
计算可得D_3=-(a+b+c+d) \\ \\

则证明A=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
\end{array}