四个均值不等式

内容纲要

均值不等式

调和平均数 \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}
几何平均数 \sqrt{ab}
算数平均数 \frac{a+b}{2}
平方平均数 \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

关系

\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

理解

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其中 BO\bot AD,CE\bot AD,EF\bot CO

设 AE = a,DE = b
算数均值 AO=DO=BO=CO=\frac{a+b}{2}(半径)
几何均值 CE=\sqrt{AE\cdot DE}=\sqrt{ab}(射影定理)
平方均值 BE=\sqrt{BO^2+EO^2}=\sqrt{\frac{a+b}{2}^2+(a-\frac{a+b}{2})^2}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
调和均值 CF=\frac{CE^2}{CO}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}(射影定理)

补充

射影定理

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其中 AC\bot BC,CD\bot AB,有
CD^2=AD\cdot BD
AC^2=AB\cdot AD
BC^2=AB\cdot BD
AC\cdot BC=AB\cdot CD