最近更新于 2023-08-10 14:14

基本初等函数导数公式

\begin{array}{l l}
(C)'=0 & (x^\mu)'=\mu x^{\mu-1} \\
(\sin\ x)'=\cos\ x & (\cos\ x)'=-\sin\ x \\
(\tan\ x)'=\sec^2\ x & (\cot\ x)'=-\csc^2\ x \\
(\sec\ x)'=\sec\ x\ tan\ x & (\csc\ x)'=-\csc\ x\ cot\ x \\
(a^x)'=a^x\ \ln\ a & (e^x)'=e^x \\
(\log_ax)'=\frac{1}{x\ \ln\ a} & (\ln\ x)'=\frac{1}{x} \\
(\arcsin\ x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & (\arccos\ x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\arctan\ x)'=\frac{1}{1+x^2} & (arccot\ x)'=-\frac{1}{1+x^2}
\end{array}

四则运算

\begin{array}{l}
四则运算 \\
[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x) \\
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\
[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}
\end{array}

复合函数

\begin{array}{l}

(u[v(x)])'=u'(v(x))v'(x)\Leftrightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\
比如 u=\sin x,(\sin^2x)'=(u^2)'=2u\cdot u'=2\sin x\cos x=\sin 2x
\end{array}

定义

如果是求某点的导数值,且函数较为复杂,可以采用导数的定义直接求值,有可能会更简单。
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
比如f(x)=\arcsin\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}},求f'(0),用求导公式的话就显得复杂,用定义做的话就是f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}}{x}=\frac{1}{2}

反函数

互为反函数的导数互为导数
y=f(x)x=\phi(y) 互为反函数,则\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\phi'(y)=\frac{1}{f'(x)}(f'(x)\ne0)

\begin{array}{l}
比如可以用于推导: \\
\\
(\arcsin x)': \\
y=\arcsin x,反函数x=\sin y \\
(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
\\
(\arccos x)' \\
y=\arccos x,反函数x=\cos y \\
(\arccos x)'=\frac{1}{(\cos y)'}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
\\
(\arctan x)' \\
y=\arctan x,反函数x=\tan y \\
(\arctan x)'=\frac{1}{(\tan y)'}=\frac{1}{\sec^2y}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2y}}=\frac{1}{\frac{\sin^2y+\cos^2y}{\cos^2y}}=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2} \\
\\
(arccot x)' \\
y=arccot\ x,反函数x=\cot y \\
(arccot x)'=\frac{1}{(\cot y)'}=-\frac{1}{\csc^2y}=-\frac{1}{\frac{1}{\sin^2y}}=-\frac{1}{\frac{\sin^2y+\cos^2y}{\sin^2y}}=-\frac{1}{1+\cot^2y}=-\frac{1}{1+x^2}
\end{array}

隐函数

y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的可导函数,求导数\frac{dy}{dx}
方程F(x,y)两边对x求导数,注意 y 是 x 的函数,由复合求导法则和四则运算求导法则,得到一个含有\frac{dy}{dx}的方程,从中解出\frac{dy}{dx}

例:函数y=y(x)由方程\arctan\frac{y}{x}=\ln\sqrt{x^2+y^2}所确定,求\frac{dy}{dx}

\begin{aligned}
\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot\frac{y'x-y}{x^2}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(2x+2yy') \\
y'x-y&=x+yy' \\
y'&=\frac{x+y}{x-y} \\
即 \frac{dy}{dx}&=\frac{x+y}{x-y}
\end{aligned}

对数

常用于幂指函数y=f(x)^{g(x)}的求导:
① 两边取自然对数\ln y=g(x)\ln f(x),再求导
② 将函数取指数变形y=e^{g(x)\ln f(x)},再求导

对数公式:https://blog.iyatt.com/?p=10767

参数方程

y=f(x)是由参数方程

\left \{
\begin{array}{l}
x=\psi(t) \\
y=\phi(t)
\end{array}
\right .

所确定的函数,其中\psi(t)\phi(t)都可导,且\psi(t)\ne0,则有\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}

分段函数

一般步骤:

  • 对定义域内每个分段区间内的函数按常规求导法则求出导函数,但不包含分段点
  • 对于每个分段点处的导数,要按导数定义或左右导数定义进行计算,从而判断函数在分段点处是否可导及导数值。比如,函数在某个分段点处连续,且左右导数存在且都等于某个值,那么这个值就是该分段点的导数值。
  • 最后写出结论

导数结论

可导的前提下,偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数,周期函数的导数还是周期函数且周期不变