性质

不定积分的性质

 $\begin{array}{l} ①(\int f(x)dx)'=f(x) \\ ②\int f'(x)dx=f(x)+C \\ ③\int(f(x)\pm g(x))=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx \\ ④\int kf(x)dx=k\int f(x)dx，常数 k\ne0 \end{array}$

定积分的性质

 $\begin{array}{l} ①\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx \\ ②\int_a^af(x)dx=0 \\ ③\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx \\ ④\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx，k为常数 \\ ⑤\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx \\ ⑥定积分的不等式性质 \\ 若f(x)\le g(x)，a\le b，则\int_a^bf(x)dx\le\int_a^bg(x)dx \\ 若f(x)与g(x)在[a,b]连续，f(x)\le g(x)，且至少存在一点x_1，a\le x_1\le b，使得f(x_1)\lt g(x_1)，那么有\int_a^bf(x)\lt\int_a^bg(x)。\\ ⑦积分中值定理 \\ 设f(x)在[a,b]连续，则至少存在一点\xi\in(a,b)使\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) \end{array}$

定积分存在定理

 $\begin{array}{l} 设f(x)在[a,b]连续，则\int_a^bf(x)dx存在。 \\ 设f(x)在[a,b]有界，且只有有限个间断点，则\int_a^bf(x)dx存在。 \end{array}$

原函数存在定理

设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上必存在原函数。

变限积分

设f(x)在[a,b]上可积，对 $x\in[a,b]$ ，f(x)在[a,x]上可积。
$\Phi=\int_a^xf(x)dx，x\in[a,b]$
定义了一个以x为自变量的函数，称为变上限的定积分。
如果下限是自变量，则称为变下限的定积分，两类统称为变限积分。

变上限函数对上限变量求导（不定积分与定积分的关系）

设f(x)在[a,b]上连续，则 $(\int_a^xf(t)dt)'=f(x)，x\in[a,b]$ ，由此可知 $\int_a^bf(t)dt$ 是f(x)的一个原函数，从而有 $\int f(x)dx=\int_a^xf(t)dt+C$ 。

牛顿-莱布尼茨定理

设f(x)在[a,b]连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则 $\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b$ =F(b)-F(a)。

计算

公式

 $\begin{array}{l l} \int0dx=C & \int1dx=x+C \\ \int x^adx=\frac{1}{a+1}a^{x+1}（a\ne-1） & \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C \\ \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C（a\gt0，a\ne1）& \int e^x=e^x+C \\ \int \sin xdx=-\cos x+C & \int \cos xdx=\sin x+C \\ \int \tan xdx=-\ln|\cos x|+C & \int \cot xdx=\ln|\sin x|+C \\ \int \sec xdx=\ln(\sec x+\tan x)+C & \int\csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C \\ \int \sec^2xdx=\tan x+C & \int\csc^2xdx=-\cot x+C \\ \int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C & \int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C \\ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C & \int\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C \\ \end{array}$

方法

凑微分法（第一换元法）

设f(u)连续， $\phi(x)$ 具有连续的一阶导数，则有 $\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx=\int f[\phi(x)]d\phi(x)\xlongequal{令\phi(x)=u}=\int f(u)du\xlongequal{\int f(t)dt=F(t)+C}F(u)+C=F(\phi(x))+C$

换元积分法（第二换元法）

设f(x)连续， $x=\phi(t)$ 具有连续导数 $\phi'(t)$ ，且 $\phi'(t)\ne0$ ，则 $\int f(x)dx\xlongequal{x=\phi(t)}(\int f(\phi(t))\phi'(t)dt)_{t=\psi(x)}$
即对t积分后，再以 $x=\phi(t)$ 的反函数 $t=\psi(x)$ 代回x的函数。

常见几种典型类型的换元方法

 $\begin{array}{l} 含\sqrt{a^2-x^2}，令x=a\sin t，dx=a\cos tdt \\ 含\sqrt{x^2+a^2}，令x=a\tan t，dx=a\sec^2tdt \\ 含\sqrt{x^2-a^2}，令x=a\sec t，dx=a\sec t\tan tdt \\ \\ 含\sqrt[n]{ax+b}，令\sqrt[n]{ax+b}=t，x=\frac{t^n-b}{a}，dx=\frac{n}{a}t^{n-1}dt \\ \\ 含\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}，令\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t，x=\frac{dt^2-b}{a-ct^2}，dx=\frac{2(ab-bc)t}{(a-ct^2)^2}dt \\ \\ 含正弦余弦的，令\tan\frac{x}{2}=t，则\sin x=\frac{2t}{1+t^2}，\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}，dx=\frac{2}{1+t^2}dt \\ 此为万能代换，但是一般计算会较为复杂，建议作为最后手段 \\ \end{array}$

分部积分法

$\int udv=uv-\int vdu$

Wallis 公式

https://blog.iyatt.com/?p=11779

部分含三角函数积分的代换关系

 $\begin{array}{l} \int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x)dx \\ \int_0^\pi f(\sin x)dx=2\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx \\ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx \end{array}$

其中 $f(\sin x)$ 可以包含 $\sin x、|\cos x|、\cos^n x（n 为偶数）$

例：
$I=\int_0^\pi\frac{x|\sin x\cos x|}{1+\cos^2x}dx$

 $\begin{aligned} I&=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\frac{|\sin x\cos x|}{1+\cos^2x}dx \\ &=\pi\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x\cos x}{1+\cos^2x}dx \\ &=-\frac{\pi}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{1+\cos^2x}d(1+\cos^2x) \\ &=-\frac{\pi}{2}\ln(1+\cos^2x)|_0^\frac{\pi}{2} \\ &=\frac{\pi}{2}\ln2 \end{aligned}$

周期函数

 $\begin{array}{l} \int_a^bf(x)dx=\int_{a+t}^{b+t}f(x)dx，f(x) 的一个周期为 T=|b-a| \\ \\ 如：\\ \int_0^{2\pi}\sin xdx=\int_\pi^{3\pi}\sin xdx \end{array}$

偶函数

 $f(x) 为偶函数，\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx=2\int_{-a}^0f(x)dx$

常用曲线

https://blog.iyatt.com/?p=11803

积分