定义

函数的导数依然可导，那么函数导数的导数就是二阶导数，记作 $y''，f''(x)，\frac{d^2y}{dx^2}，\frac{d^2f(x)}{dx^2}$
二阶导数的导数，叫三阶导数，记作 $y'''，f'''(x)，\frac{d^3y}{dx^3}，\frac{d^3f(x)}{dx^3}$
三阶导数的导数，叫四阶导数，记作 $y^{(4)}，f^{(4)}(x)，\frac{d^4y}{dx^4}，\frac{d^4f(x)}{dx^4}$
…
(n-1)阶导数的导数，叫做n阶导数，记作 $y^{(n)}，f^{(n)}(x)，\frac{d^ny}{dx^n}，\frac{d^nf(x)}{dx^n}$

一阶求导参考：https://blog.iyatt.com/?p=7986

求导计算

直接法

先求出y'，y''，y'''等，找出导数规律，写出 $y^{(n)}$ 结果

间接法

利用已知高阶导数公式、运算法则，通过将函数恒等变形、变量替换等求出高阶导数结果。

四则运算法则

 $\begin{array}{l} u(x)，v(x)都n阶可导 \\ [u(x)\pm v(x)]^{(n)}=u^{(n)}(x)\pm v^{n}(x) \\ [C\cdot u(x)]^{(n)}=C\cdot u^{(n)}(x) \\ [u(x)v(x)]^{(n)}=\sum_{i=0}^nC_n^iu^{(n-i)}(x)\cdot v^{(i)}(x)，其中u^{(0)}(x)=u(x)，v^{(0)}(x)=v(x) ——莱布尼茨公式\\ \end{array}$

组合计算公式参考：https://blog.iyatt.com/?p=10812

常用高阶导数公式

 $\begin{array}{l l} (x^n)^{(n)}=n! \ \ \ (e^x)^{(n)}=e^x & (a^x)^{(n)}=a^x\ln^na \\ (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{\pi}{2}n) & (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{\pi}{2}n) \\ (\sin kx)^{(n)}=k^n\sin(kx+\frac{\pi}{2}n) & (\cos kx)^{(n)}=k^n\cos(kx+\frac{\pi}{2}n) \\ (\ln x)^{(n)}=(-1)^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{x^n} & (\frac{1}{ax+b})^{(n)}=(-1)^n\frac{a^n\cdot n!}{(ax+b)^{(n+1)}} \\ \end{array}$

部分函数二阶导数求法

抽象复合函数

 $\begin{array}{l} y=f[\phi(x)]，求\frac{d^2y}{dx^2} \\ 先求一阶导：\frac{dy}{dx}=f'[\phi (x)]\phi'(x) \\ 再求二阶导：\frac{d^2y}{dx^2}=f''[\phi(x)][\phi'(x)]^2+f'[\phi(x)]\phi''(x) \\ \\ 例 \\ [\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)} \\ [\ln f(x)]''=\frac{f''(x)f(x)-[f'(x)]^2}{f^2(x)} \end{array}$

隐函数

先求一阶导，再二阶导，二阶导得到的式子可能含有一阶导，将一阶导结果代入，整理得到二阶导

 $\begin{array}{l} 例 \\ 由方程 e^y+xy=e 求 \frac{d^2y}{dx^2} \\ \begin{aligned} e^yy'+y+xy'&=0 \\ y'&=-\frac{y}{x+e^y} \end{aligned} \\ \begin{aligned} y''&=-\frac{y'(x+e^y)-y(1+e^yy')}{(x+e^y)^2} \\ &=\frac{2y-\frac{y^2e^y}{x+e^y}}{(x+e^y)^2} \\ &=\frac{2xy+2ye^y-y^22^2}{(x+e^y)^3} \end{aligned} \end{array}$

参数方程

由参数方程

 $\left \{ \begin{array}{l} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \\ \end{array} \right .$

所确定的函数y=y(x)的二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ ：

 $\begin{array}{l} 先求一阶导数：\\ \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)} \\ \\ 再求二阶导数：\\ \begin{aligned} \frac{d^2y}{dt^2}&=\frac{[\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}]'}{\phi'(t)} \\ &=\frac{\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\psi'(t)\phi''(t)}{[\phi'(t)]^2}}{\phi'(t)} \\ &=\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\psi'(t)\phi''(t)}{[\phi'(t)]^3} \end{aligned} \end{array}$

例（2013，数一）

 $\left \{ \begin{array}{l} x=\sin t \\ y=t\sin t+\cos t \end{array} \right .$

，计算 $\frac{d^2y}{dx^2}|_{t=\frac{\pi}{4}}$ 。

 $\begin{array}{l} dy=t\cos t\ dt \\ dx=\cos t\ dt \\ \\ \frac{dy}{dx}=t \\ \\ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{[\frac{dy}{dx}]'}{dx}=\frac{1}{\cos t} \\ \\ \frac{d^2y}{dx^2} |_{t=\frac{\pi}{4}}=\sqrt2 \end{array}$

高阶导数求导

作者IYATT-yx

定义