概念

期望值可以理解为“平均结果”。无论随机变量是离散的还是连续的，期望值都反映了随机变量取值的“中心位置”。

大数定律（Law of large numbers）：是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其算术平均值就有越高的概率接近期望。

离散随机变量

对于离散随机变量 $\mathbf X$ ，其期望 $\mathbf E(\mathbf X)=\sum_{i=1}^{n}x_iP(x_i)$

其中， $x_i$ 是随机变量 $\mathbf X$ 的可能取值， $P(x_i)$ 是 $x_i$ 出现的概率

连续随机变量

对于连续随机变量 $\mathbf X$ ，其期望 $\mathbf E(\mathbf X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)dx$

其中，f(x)是 $\mathbf X$ 的概率密度函数

举例

正态分布的期望

正态分布基本概念参考：https://blog.iyatt.com/?p=19840

正态分布的期望为
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$

令 $u=\frac{x-\mu}{\sigma}$

则 $x=\mu+u\sigma，dx=\sigma du$

 $\begin{aligned} E(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}(\mu+u\sigma)\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}\sigma du \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}(\mu+u\sigma)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}} du\\ &=\mu\int_{\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du+\sigma\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{u}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du \\ &\xlongequal[第二部分被积分函数是奇函数，积分结果为0]{第1部分被积分函数为标准正态分布，积分结果为1}\mu\cdot1+\sigma\cdot0 \\ &=\mu \end{aligned}$

即正态分布的期望 $E(x)=\mu$

期望 Expected Value