1 极限性质

1.1 有界性

1.1.1 数列

如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么数列 $\{x_n\}$ 一定有界。

1.1.2 函数

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则f(x)在 $x_0$ 的某去心邻域有界（局部有界）。

1.2 保号性

1.2.1 数列

设 $\lim_{n\to\infty}x_n=A$
如果 $A\gt0$ 或 $A\lt0$ ，则 $\exists N\gt0$ ，当 $n\gt N$ 时， $x_n\gt0$ 或 $x_n\lt0$ 。
如果 $\exists N\gt0$ ， $n\gt N$ 时， $x_n\ge0$ 或 $x_n\le0$ ，则 $A\ge0$ 或 $A\le0$ 。

1.2.2 函数

设 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$
如果 $A\gt0$ 或 $A\lt0$ ，则 $\exists\delta\gt0$ ，当 $x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$ 时， $f(x)\gt0$ 或 $f(x)\lt0$ 。
如果 $\exists\delta\gt0$ ，当 $x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$ 时， $f(x)\ge0$ 或 $f(x)\le0$ ，那么 $A\ge0$ 或 $A\le0$ 。

2 函数极限和数列极限的关系

2.1 海涅定理

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ ，则对任意数列 $\{x_n\}$ ， $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$ ，且 $x_n\ne=x_0$ ，都有 $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$

3 极限计算

3.1 四则运算

若 $\lim f(x)=a，\lim g(x)=b$ ，则
(1) $\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=a\pm b$
(2) $\lim[f(x)g(x)]=\lim f(x) \cdot\lim g(x)=ab$
(3) $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{a}{b}\ (b\ne0)$

推论
(1) $\lim cf(x)=c\lim f(x)=ca\ (c为常数)$
(2) $\lim [f(x)]^n=[\lim f(x)]^n=a^n\ (n为正整数)$

注
(1) $存在\pm不存在=不存在$
(2) $不存在\pm不存在=不一定$
(3) $存在\times(\div)不存在=不一定$
(4) $不存在\times(\div)不存在=不一定$

3.2 重要极限和等价无穷小

等价无穷小替换定理：
设 $f_1(x)\sim f_2(x)，g_1(x)\sim g_2(x)，且\lim\frac{f_2(x)}{g_2(x)}存在，则 \\ \lim\frac{f_1(x)}{g_1(x)}=\lim\frac{f_2(x)}{g_2(x)}=(推广)\lim\frac{f_1(x)}{g_2(x)}=\lim\frac{f_2(x)}{g_1(x)}$

和差关系在满足一定条件下可以作等价替换
(1) $若\lim\frac{f_1(x)}{g_1(x)}\ne1，则\lim[f_1(x)-g_1(x)]=\lim[f_2(x)-g_2(x)]$
(2) $若\lim\frac{f_1(x)}{g_2(x)}\ne-1，则\lim[f_1(x)+g_1(x)]=\lim[f_2(x)+g_2(x)]$

常见等价无穷小和重要极限详见：https://blog.iyatt.com/?p=10351

3.3 洛必达法则

若
(1) $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0（或\infty）$
(2) $f(x)和g(x)在x_0的某去心邻域内可导，且g'(x)\ne0$
(3) $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}存在$
则
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

一般用于 $\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}、\infty\pm\infty、0\cdot\infty、1^\infty、\infty^0、0^0$ ，前两种直接使用，后五种化为前两种

推广

只要分母趋近于无穷，且分母导数不为 0，则同样可用

3.4 夹逼准则

若函数f(x)、g(x)、h(x)满足：
(1) $g(x)\le f(x)\le h(x)$
(2) $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)=A$
则
$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$

3.5 单调有界数列极限准则

单调有界数列必有极限

一般方法：
(1) 证明数列单调有界（多用归纳法）
(2) 令 $\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a$ ，对给定的关系式两边求极限，解出 a

3.6 无穷小性质

无穷小和有界量乘积仍为无穷小

3.7 函数的连续性

(1) $若f(x)在x=x_0点连续，则\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0）$
(2) $若f(x)，\phi(x)为连续函数，则\lim_{x\rightarrow x_0}f[\phi(x)]=f[\lim_{x\rightarrow x_0]}\phi(x)]$
(3) $若\lim f(x)=A>0，\lim g(x)=B，则 \\ \lim f(x)^{g(x)}=[lim f(x)]^{\lim g(x)}=A^B$

3.8 泰勒公式

详见：https://blog.iyatt.com/?p=10375

3.9 导数定义

(1) $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=a\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0)}{a\Delta x}=af'(x_0)$
(2) $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0+b\Delta x)}{\Delta x}=-b\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+b\Delta x)-f(x_0)}{b\Delta x}=-bf'(x_0)$
(3) $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0+b\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{[f(x_0+a\Delta x)-f(x_0)]-[f(x_0+b\Delta x)-f(x_0)]}{\Delta x}=a\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0)}{a\Delta x}-b\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+b\Delta x)-f(x_0)}{b\Delta x}=(a-b)f'(x_0)$

极限