最近更新于 2024-05-05 12:32
设f(x)在闭区间[a,b]有n阶连续的导数，在开区间(a,b)内有直到n+1阶导数，x_0\in[a,b]，x\in[a,b]是任意两点，则至少存在一个点介于\xi与x之间，使f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),称 R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} 为拉格朗日型余项，即为具有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，余项也可表示为 R_n(x)=o((x-x_0)^n)，称为佩亚诺余项，即为佩亚诺余项泰勒公式。当泰勒公式中x_0=0时，则称为麦克劳林公式。
几个常用函数的x=0处展开的佩亚诺余项泰勒公式如下：
① e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)
② \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})
③ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n})
④ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})
⑤ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)
⑥ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)
⑦ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+frac{x^2}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+o(x^n)
⑧ (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)
⑨ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})
具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式就是拉格朗日中值公式；具有佩亚诺余项的1阶泰勒公式，就是函数的微分和增量之间的关系式。