基本初等函数导数公式

 $\begin{array}{l l} (C)'=0 & (x^\mu)'=\mu x^{\mu-1} \\ (\sin\ x)'=\cos\ x & (\cos\ x)'=-\sin\ x \\ (\tan\ x)'=\sec^2\ x & (\cot\ x)'=-\csc^2\ x \\ (\sec\ x)'=\sec\ x\ tan\ x & (\csc\ x)'=-\csc\ x\ cot\ x \\ (a^x)'=a^x\ \ln\ a & (e^x)'=e^x \\ (\log_ax)'=\frac{1}{x\ \ln\ a} & (\ln\ x)'=\frac{1}{x} \\ (\arcsin\ x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & (\arccos\ x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan\ x)'=\frac{1}{1+x^2} & (arccot\ x)'=-\frac{1}{1+x^2} \end{array}$

四则运算

 $\begin{array}{l} 四则运算 \\ [u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x) \\ [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ [\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{array}$

复合函数

 $\begin{array}{l} (u[v(x)])'=u'(v(x))v'(x)\Leftrightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\ 比如 u=\sin x，(\sin^2x)'=(u^2)'=2u\cdot u'=2\sin x\cos x=\sin 2x \end{array}$

定义

如果是求某点的导数值，且函数较为复杂，可以采用导数的定义直接求值，有可能会更简单。
$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
比如 $f(x)=\arcsin\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$ ，求f'(0)，用求导公式的话就显得复杂，用定义做的话就是 $f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}}{x}=\frac{1}{2}$

反函数

互为反函数的导数互为导数
若 y=f(x) 和 $x=\phi(y)$ 互为反函数，则 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ 即 $\phi'(y)=\frac{1}{f'(x)}(f'(x)\ne0)$

 $\begin{array}{l} 比如可以用于推导： \\ \\ (\arcsin x)': \\ y=\arcsin x，反函数x=\sin y \\ (\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ (\arccos x)' \\ y=\arccos x，反函数x=\cos y \\ (\arccos x)'=\frac{1}{(\cos y)'}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \\ (\arctan x)' \\ y=\arctan x，反函数x=\tan y \\ (\arctan x)'=\frac{1}{(\tan y)'}=\frac{1}{\sec^2y}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2y}}=\frac{1}{\frac{\sin^2y+\cos^2y}{\cos^2y}}=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2} \\ \\ (arccot x)' \\ y=arccot\ x，反函数x=\cot y \\ (arccot x)'=\frac{1}{(\cot y)'}=-\frac{1}{\csc^2y}=-\frac{1}{\frac{1}{\sin^2y}}=-\frac{1}{\frac{\sin^2y+\cos^2y}{\sin^2y}}=-\frac{1}{1+\cot^2y}=-\frac{1}{1+x^2} \end{array}$

隐函数

设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的可导函数，求导数 $\frac{dy}{dx}$ 。
方程F(x,y)两边对x求导数，注意 y 是 x 的函数，由复合求导法则和四则运算求导法则，得到一个含有 $\frac{dy}{dx}$ 的方程，从中解出 $\frac{dy}{dx}$ 。

例：函数y=y(x)由方程 $\arctan\frac{y}{x}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$ 所确定，求 $\frac{dy}{dx}$

 $\begin{aligned} \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot\frac{y'x-y}{x^2}&=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(2x+2yy') \\ y'x-y&=x+yy' \\ y'&=\frac{x+y}{x-y} \\ 即 \frac{dy}{dx}&=\frac{x+y}{x-y} \end{aligned}$

对数

常用于幂指函数 $y=f(x)^{g(x)}$ 的求导：
① 两边取自然对数 $\ln y=g(x)\ln f(x)$ ，再求导
② 将函数取指数变形 $y=e^{g(x)\ln f(x)}$ ，再求导

对数公式：https://blog.iyatt.com/?p=10767

参数方程

设y=f(x)是由参数方程

 $\left \{ \begin{array}{l} x=\psi(t) \\ y=\phi(t) \end{array} \right .$

所确定的函数，其中 $\psi(t)$ 和 $\phi(t)$ 都可导，且 $\psi(t)\ne0$ ，则有 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$

分段函数

一般步骤：

对定义域内每个分段区间内的函数按常规求导法则求出导函数，但不包含分段点
对于每个分段点处的导数，要按导数定义或左右导数定义进行计算，从而判断函数在分段点处是否可导及导数值。比如，函数在某个分段点处连续，且左右导数存在且都等于某个值，那么这个值就是该分段点的导数值。
最后写出结论

导数结论

可导的前提下，偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，周期函数的导数还是周期函数且周期不变

求导方法