分式积化差

最近更新于 2024-05-05 12:32

\begin{aligned}
\frac{1}{mn}&=\frac{1}{n-m}\cdot\frac{n-m}{mn} \\
&=\frac{1}{n-m}(\frac{1}{m}-\frac{1}{n})
\end{aligned}

这种分式的变换方法好像是在初中的时候第一次用到的，也不记得有什么名字，这里我就叫它“分式积化差”吧。
一般遇到的情景类似下面，计算

\begin{aligned}
&\ \ \ \ \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)n} \\
&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \\
&=1-\frac{1}{n} \\
&=\frac{n-1}{n}
\end{aligned}
\\
\begin{aligned}
&\ \ \ \ \frac{1}{1\times4}+\frac{1}{4\times7}+\frac{1}{7\times11}+\cdots+\frac{1}{(n-3)n} \\
&=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}) \\
&=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{n}) \\
&=\frac{n-1}{3n}
\end{aligned}