最近更新于 2025-07-12 22:09
2025.7.12
我弟弟升初中，暑假学校就召集去上课了，今天问我的题里有道他没做的，抄了老师给的答案，没懂怎么做的。我看了下里面有一步用到了这个经典的方法，我记得有个公式，只是不知道名字，搜了一下才知道叫列项相消法，这是一个很基础的方法，可能考试不一定必考，但是属于必须知道的。
裂项公式：
\frac{1}{mn}=\frac{1}{n-m}(\frac1m-\frac1n)，且m\lt n举例
\begin{aligned}
&\frac{1}{3\times10}+\frac{1}{10\times17}+\frac{1}{17\times24}+\frac{1}{24\times31} \\
&=\frac{1}{10-3}(\frac{1}{3}-\frac{1}{10})+\frac{1}{17-10}(\frac{1}{10}-\frac{1}{17})+\frac{1}{24-17}(\frac{1}{17}-\frac{1}{24})+\frac{1}{31-24}(\frac{1}{24}-\frac{1}{31}) \\
&=\frac{1}{7}(\frac{1}{3}-\frac{1}{10})+\frac{1}{7}(\frac{1}{10}-\frac{1}{17})+\frac{1}{7}(\frac{1}{17}-\frac{1}{24})+\frac{1}{7}(\frac{1}{24}-\frac{1}{31}) \\
&=\frac17(\frac{1}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{17}+\frac{1}{17}-\frac{1}{24}+\frac{1}{24}-\frac{1}{31}) \\
&=\frac17(\frac{1}{3}-\frac{1}{31})
\end{aligned}我上面给出的是通用的方法，我弟弟遇到的那道题算是特殊情况，m和n是相邻的两个整数，就可以简化
\frac{1}{mn}=\frac1m-\frac1n，且n-m=1裂项相消法